Linjärkombinationen
v
→
=
2
u
→
1
+
1.5
u
→
2
{\displaystyle {\vec {v}}=2{\vec {u}}_{1}+1.5{\vec {u}}_{2}}
En linjärkombination är en summa bildad ur en mängd av termer och där varje term i summan multiplicerats med en konstant faktor . Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande matematiska områden.[ 1]
Om en vektor
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
linjärt rum kan skrivas
u
=
c
1
v
1
+
c
2
v
2
+
⋯
+
c
n
v
n
{\displaystyle \mathbf {u} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +c_{n}\mathbf {v} _{n}}
där
c
1
,
c
2
,
…
,
c
n
{\displaystyle \ c_{1},\ c_{2},\ \dots ,\ c_{n}}
skalärer , är
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ \mathbf {v} _{2},\ \dots ,\ \mathbf {v} _{n}\}}
En vektor skriven som en linjärkombination av två andra vektorer:
[
7
2
]
=
1
⋅
[
1
2
]
+
2
⋅
[
3
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}7\\2\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+2\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}}
En vektor kan delas upp i komponenter i form av en linjärkombination:
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
=
a
1
(
1
,
0
,
0
)
+
a
2
(
0
,
1
,
0
)
+
a
3
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle \,(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})=a_{1}(1,\ 0,\ 0)\,+\,a_{2}(0,\ 1,\ 0)+a_{3}(0,\ 0,\ 1)}
Funktioner skrivna som linjärkombinationer av andra funktioner:
cos
x
=
1
2
e
i
x
+
1
2
e
−
i
x
{\displaystyle \ \cos x={\frac {1}{2}}e^{ix}+{\frac {1}{2}}e^{-ix}}
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x}
Polynomet
x
2
−
2
x
+
3
{\displaystyle \ x^{2}-2x+3}
kan med hjälp av
v
1
=
(
x
2
,
0
,
0
)
,
v
2
=
(
0
,
x
,
0
)
,
v
3
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle \ v_{1}=(x^{2},\ 0,\ 0),\ v_{2}=(0,\ x,\ 0),\ v_{3}=(0,\ 0,\ 1)}
skrivas som linjärkombinationen
v
1
−
2
v
2
+
3
v
3
{\displaystyle v_{1}-2v_{2}+3v_{3}}
