Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ definierad som

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

där ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$ är så att ${\displaystyle \Im z>0}$ och ${\displaystyle \eta }$ är Dedekinds etafunktion.

De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell (talföljd A000594 i OEIS):

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${\displaystyle \tau (n)}$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

• ${\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)}$ om ${\displaystyle sgd(m,n)=1}$ (det vill säga ${\displaystyle \tau (n)}$ är en multiplikativ funktion)
• ${\displaystyle \tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})}$ för primtal ${\displaystyle p}$ och ${\displaystyle r>0}$.
• ${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}}$ för alla primtal ${\displaystyle p}$.

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

För ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ och ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$, definiera ${\textstyle \sigma _{k}(n)}$ som summan av ${\displaystyle k}$:te potenserna av delarna av ${\displaystyle n}$. Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av ${\textstyle \sigma _{k}(n)}$. Då gäller följande kongruenser:^{[1][förtydliga]}

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ för }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ för }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ för }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ för }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ för }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ för }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ för }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ för }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[6]

För ${\displaystyle p\neq 23}$ primtal gäller:^[1][7]

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ om }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ om }}p{\text{ är av formen }}a^{2}+23b^{2}}$^[8]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ annars}}.}$

Anta att ${\displaystyle f}$ är en heltalsnyform av vikt ${\displaystyle k}$ och att dess Fourierkoefficienter ${\displaystyle a(n)}$ är heltal. Betrakta följande problem: om ${\displaystyle f}$ saknar komplex multiplikation, bevisa att ${\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}}$ gäller för alla ${\displaystyle p}$. De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer ${\displaystyle a(n){\bmod {p}}}$ för ${\displaystyle n}$ och ${\displaystyle p}$ relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna ${\displaystyle a(p){\bmod {p}}}$. Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal ${\displaystyle p}$ så att ${\displaystyle a(p)=0}$, av vilket ${\displaystyle 0{\bmod {p}}}$ följer. Man känner inte till exempel av icke-KM ${\displaystyle f}$ med vikt ${\displaystyle >2}$ med ${\displaystyle a(p)\neq 0}$ mod ${\displaystyle p}$ för oändligt många primtal ${\displaystyle p}$ (även om det borde gälla för nästan alla ${\displaystyle p}$). Man känner inte heller till exempel där ${\displaystyle a(p)=0}$ mod ${\displaystyle p}$ för oändligt många ${\displaystyle p}$.

Lehmer (1947) förmodade att ${\displaystyle \tau (n)\neq 0}$ för alla ${\displaystyle n}$, vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för ${\displaystyle n<214928639999}$. Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla ${\displaystyle n<22798241520242687999}$.

Referenser

[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ramanujan tau function, 17 december 2013.

Noter

[redigera | redigera wikitext]

1. ^ [a b] Page 4 of Swinnerton-Dyer 1973.
2. ^ [a b c d] Due to Kolberg 1962.
3. ^ [a b] Due to Ashworth 1968.
4. ^ Due to Lahivi
5. ^ [a b] Due to D. H. Lehmer
6. ^ Due to Ramanujan 1916.
7. ^ Due to Wilton 1930.
8. ^ Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5

Källor

[redigera | redigera wikitext]

• Apostol, T. M. (1997), ”Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory”, New York: Springer-Verlag 2nd ed. 
• Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford) 
• Kolberg, O. (1962), ”Congruences for Ramanujan's function τ(n)”, Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11) 
• Lygeros, N. (2010), ”A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)”, Journal of Integer Sequences 13: Article 10.7.4, http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf 
• Mordell, Louis J. (1917), ”On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19: 117–124, http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 
• Newman, M. (1972), ”A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067”, National Bureau of Standards. 
• Rankin, Robert A. (1988), ”Ramanujan's tau-function and its generalizations”, i Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press, s. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, http://books.google.com/books?id=GJUEAQAAIAAJ 
• Ramanujan, Srinivasa (1916), ”On certain arithmetical functions”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): 159–184 
• Serre, J-P. (1968), ”Une interprétation relative à la fonction ${\displaystyle \tau }$ de Ramanujan”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 14 
• Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), ”On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms”, i Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III, Lecture Notes in Mathematics, "350", s. 1–55, ISBN 978-3-540-06483-1, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-37802-0_1 
• Wilton, J. R. (1930), ”Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)”, Proceedings of the London Mathematical Society 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1